CHI CUADRADO

EJERCICIO CHI CUADRADO

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APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN CHI ².

Además de la importancia de la distribución c²como la distribución a la que se ajusta la distribución muestral de la varianza de un población normal, y su posterior aplicación en el contraste de la varianza, otras aplicaciones importantes de dicha distribución son:

• Test de bondad de ajuste.

Consideramos una población y el carácter X que presenta las siguientes modalidades x₁, x₂, ......., x_k excluyentes con sus correspondientes probabilidades p_1, p₂, ....., p_k. Tenemos una muestra de tamaño n en la que observamos el carácter X y nos planteamos hasta qué punto esta muestra se puede considerar como perteneciente a una población con una distribución teórica ya conocida.

Independientemente de la distribución teórica que consideremos siempre existirán diferencias entre los valores teóricos esperados y los valores observados. El problema está en saber en qué medida dichos valores son debidos al azar o a que los datos no se ajustan a la distribución teórica considerada.
 
  Si denotamos por:

O_i=nº de elementos de la muestra con el carácter x_i.

p_i = probabilidad teórica de que la variable aleatoria X tome el valor x_i verificándose que  .

Si tenemos una muestra de tamaño n, el número de elementos que cabe esperar que tomen el valor x_i es: e_i = n.p_i verificándose que 
 

Podremos formar la siguiente tabla:

Variable X	x1	x2	......................	xk
Frecuencias observadas	O1	O2	......................	OK
Frecuencias esperadas	e1	e2	......................	ek

Consideramos como hipótesis nula e hipótesis alternativa a:

H_O: la distribución empírica se ajusta a la distribución teórica considerada.

H₁: Se rechaza el ajuste.

Evidentemente, si aceptamos la hipótesis nula(aceptamos el ajuste), las diferencias entre los valores observados y los valores esperados son debidas al azar y podemos decir que no existen evidencias para rechazar dicha hipótesis; en otro caso diremos existen diferencias significativas para el nivel de significación marcado entre ambas distribuciones, no pudiendo atribuirse las diferencias entre las distribuciones empíricas y observadas al azar.
El estadístico que se utilizará para dicho contraste será:

T =  = 

Pearson demostró que la distribución de dicho estadístico es una c² con k-1 grados de libertad en el caso de no existir discrepancias entre los valores observados y los esperados.

Se acepta H_o si: T <  (REGIÓN DE ACEPTACIÓN)

Se rechaza H_o si: T &sup3; (REGIÓN CRÍTICA).

• Contraste de dependencia o independencia de caracteres.

Deseamos saber si dos caracteres X e Y de una población son dependientes o independientes.

Suponemos que las modalidades que presentan cada una de las variables X e Y son:

X: x₁, x₂, .........., x_k

Y_: y₁, y₂,..........., y_m

y se ha tomado una muestra de tamaño n midiéndose dichas características X e Y en cada uno de los elementos de la muestra.

Si denotamos por:

O_ij = n&ordm; de elementos que presentan la característica x_i e y_j

e_ij = n&ordm; de elementos esperados que presenten los valores x_i , y_j si las variables son independientes.

Podríamos formar la siguiente tabla de contingencia en la que aparecen las frecuencias empíricas y las teóricas:

Y  X	y1	......	Yj	.......	ym	Frecuencias absolutas X
x1	O11 e11	......	O1j e1j	.........	O1m e1m	Ox1
..........	.........	......	.........	.........	........	............
xi	Oi1 ei1	......	Oij eij	.........	Oim eim	Oxi
.......	.........	.......	.........	.........	........	.........
xk	Ok1 ek1	.......	Okj ekj	.........	Okm ekm	Oxk
Frecuencias absolutas Y	Oy1	.......	Oyj	........	Oym	n

Test de homogeneidad de varias muestras.
 

Se trata de determinar si varias muestras que estudian el mismo carácter A han sido tomadas o no de la misma población, respecto de dicha característica A.

Supongamos que tenemos k muestras de tamaños n₁, n₂, ......,n_k siendo y₁, y₂, ......, y_k los elementos de cada muestra que presentan una determinada característica A y el resto no la presentan.
 

Si suponemos que todas las muestras provienen de la misma población, la proporción de elementos que presentan la característica A sería:

p = 

Si suponemos que las muestras provienen de la misma población, los valores esperados para la característica A en cada muestra serían: n₁.p, n₂.p, n₃.p ,....... n_k.p.
 
 

Podríamos formar la siguiente tabla de contingencia en la que aparecen los valores observados y los valores esperados:

Muestras	Presentan el carácter A Se esperan con el carácter A	No presentan el carácter A Se esperan sin el carácter A	Tamaño de las muestras
Primera muestra	y1 n1.p	n1-y1 n1(1-p)	n1
..........	.........	........	............
i-ésima muestra	yi ni.p	ni-yi ni(1-p)	ni
.......	.........	........	.........
k-ésima muestra	yk nk.p	nk-yk nk(1-p)	nk

Consideramos como hipótesis nula e hipótesis alternativa a:

H_O: todas las muestras provienen de la misma de la población.

H₁: se rechaza que provengan de la misma población.

TABLA DE CHI CUADRADO